Šaknys
Skaičiaus \(\sqrt{2}\) iracionalumas
Skaičius \(\sqrt{2}\) yra iracionalusis, nes jo negalima išreikšti kaip dviejų sveikųjų skaičių santykio \(\frac{m}{n}\). Jo iracionalumas įrodomas prieštaros metodu.
- Tarkime, \(\sqrt{2} = m/n\), kur \(m/n\) - nesuprastinama trupmena.
- Tada \(m^2 = 2n^2\), vadinasi, \(m\) yra lyginis.
- Jei \(m = 2k\), tai \((2k)^2 = 2n^2 \Rightarrow 4k^2 = 2n^2 \Rightarrow n^2 = 2k^2\), vadinasi, \(n\) taip pat lyginis.
- Jei \(m\) ir \(n\) lyginiai, trupmena \(m/n\) yra suprastinama – tai prieštarauja pradinei prielaidai.
Įrodymas, kad \(\sqrt{2}\) nėra racionalusis, yra svarbus matematinės logikos pavyzdys, atskleidžiantis realiųjų skaičių prigimtį.
